负数在二进制下是如何参与加法运算的-barwe的学习笔记

原码：十进制数的带符号的二进制形式，例如-5的原码是1000 0101。

以计算 (+3) + (-5)为例，如果直接将两个数的原码相加，有两个问题：

符号位相加没有意义，因为一个正数和一个负数的符号位相加始终为负数的符号位，与这两个数相加的实际结果的正负没有关系
非符号位的相加实际上相当于两个数的绝对值相加，这不符合预期

 0000 0011
+1000 0101
----------
 1000 1000 = -8 ≠ -2

反码：正数的反码等于原码，负数的反码等于除符号位之外的所有位取反，故而

+3 原码：0000 0011 反码：0000 0011
-5 原码：1000 0101 反码：1111 1010

反码相加：
 0000 0011
+1111 1010
----------
 1111 1101 (反码) => 原码：1000 0010 => -2

看起来没啥问题，然而我们再计算：

-3反 1111 1100
+5反 0000 0101
---------------
	 0000 0001 => 原 0000 0001 => 1 ???
	   
-2反 1111 1101
+2反 0000 0010
--------------
     1111 1111 => 原 1000 0000 => -0 ???

负数补码等于反码加1，解决+0和-0的问题。

-3补 1111 1101
+5补 0000 0101
--------------
     0000 0010 => +2
     
-2补 1111 1110
+2补 0000 0010
--------------
     0000 0000 => +0
     
+3补 0000 0011
-5补 1111 1011
--------------
     1111 1110 => 反 1111 1101 => 原 1000 0010 => -2

下面两个加法：

1000 0001 <= 1000 0000 <= 1111 1111 <= -127
1111 1111 <= 1111 1110 <= 1000 0001 <= -1
+++++++++
2111 1112
1000 0000 => 0111 1111 => 0111 1111 => 127???

0111 1101 <= 0111 1101 <= 0111 1101 <= 125
0000 0010 <= 0000 0010 <= 0000 0010 <= 2
+++++++++
0111 1111 => 0111 1111 => 0111 1111 => 127!!!

这里注意，两个数和为0，意味着和的补码为0000 0000，同时意味着不会有任何两个数的和的补码能够为1000 0000，而如果按照通常的思路理解有符号整数，0000 0000和1000 0000都应该表示十进制整数0。我们只用0000 0000表示0，而1000 0000用来表示另一个特别的数字-128，并且该数字的原反补码也都相同，均为1000 0000，这样

1000 0010 <= 1000 0001 <= 1111 1110 <= -126
1111 1110 <= 1111 1101 <= 1000 0010 <= -2
+++++++++
2111 1120
1000 0000 => -128 ok!

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负数在二进制下是如何参与加法运算的

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